सगळीजण हातात कागद पेन घेऊन कशात तरी मग्न होती. मध्येच कोणीतरी विचारायचे, “अरे जमलं का कुणाला?’
“चक्! नाही ना. जमतच नाही.’
“हो रे प्रणव, वाटलं होतं खूप सोप्पंय! पण जमत नाही. कसलं कोड घातलंय हे सानवीने?’
“काय रे मिहीर, काय जमत नाही’, प्रणवच्या आईने विचारले.
“सानवीने दिलेले हे चित्र, हात न उचलता काढायचे आहे. (आकृती – 1)
आणि आई कोणत्याही रेघेवरून परत रेघ न काढता चित्र पूर्ण करायचे आहे.’
“पण काकू कसाही प्रयत्न केला तरी, मूळ जागेवर जाताना एखादी रेघ परत काढावीच लागते आहे.’
“अच्छा असं आहे का? बरं मी एक गोष्ट सांगणार आहे. ऐकायची का?’
मुलांच्या चेहऱ्यावरची उत्सुकता पाहून प्रणवच्या आईने गोष्ट सांगायला सुरुवात केली.
“ही गोष्ट आहे सतराव्या शतकातील. जर्मन साम्राज्यातील. प्रेगेल नदीच्या दोन्ही तीरावर कोनिग्झबर्ग गाव वसलेले होते. हे दोन्ही तीर आणि तेथील दोन बेटे जोडण्यासाठी एकूण सात पूल बांधले गेले होते. या पुलांचा वापर करताना तेथील लोकांच्या असे लक्षात आले की, कोणत्याही एका पूलापासून प्रवासाला सुरुवात केली आणि सर्व पुलांवरून फक्त एकदाच प्रवास करायचा ठरवला तर परत पहिल्या पूलापर्यंत येणे शक्य होत नाही.’
“हे म्हणजे सानवीने दिलेल्या चित्रासारखेच आहे की’, मिहीर पटकन बोलला.
प्रणवच्या आईने हलकेच स्मित करून पुढे बोलायला सुरुवात केली. “या कोड्याचे उत्तर शोधण्याचा प्रयत्न लिओनार्ड ऑयलर या गणितज्ज्ञाने केला. या पूलांची रचना, रेषा व बिंदू वापरून कागदावर काढली. त्याला जाणवले की, ही एक वैशिष्ट्यपूर्ण रचना आहे. त्यामुळेच फक्त एकदाच पूलाचा वापर करून पूर्ण प्रवास करणे अशक्य आहे.’
“असे काय वैशिष्ट्य होते त्या रचनेचे?’ मुलांनी खूप उत्सुकतेने विचारले.
“ही बघा या पूलांची रचना आणि त्याची कागदावरची रेषा व बिंदू वापरून काढलेली आकृती. (आकृती-2.)
या आकृतीत तीन बिंदू असे आहेत की, ज्यामधून तीन रेषा व एका बिंदूतून पाच रेषा जात आहेत. यांना विषमबिंदू म्हणू. ऑयलर याच्या अभ्यासानुसार जेव्हा कोणत्याही आकृतीत दोन पेक्षा जास्त विषम बिंदू असतात तेव्हा कोणत्याही बिंदूपासून सुरुवात केली तरी प्रत्येक रेषेवरून एकदा आणि फक्त एकदाच जाऊन परत मूळ बिंदूपाशी येणे अशक्य आहे.’
“म्हणजे हा एक गणितातील शोधच आहे म्हणायचा!’
“हो आणि सतराव्या शतकातील या अभ्यासाचा गूगल मॅप, जीपीएस वगैरे तंत्रज्ञानामध्ये उपयोग केला जातो बरं का.’
“आई सानवीने दिलेल्या चित्रात देखील चार विषम बिंदू आहेत. प्रत्येक बिंदूतून पाच पाच रेषा जात आहेत.’
“हो रे प्रणव. मिहीर त्याच्या कागदावरच्या आकृतीकडे बघत बोलला.म्हणजे ऑयलरच्या अभ्यासानुसार हात न उचलता आणि कोणतीही रेष परत न काढता ही आकृती पूर्ण करणे अशक्य आहे.’
“काय सानवी तू पण ना! न सुटणारे कोडेच घातलेस की.’
“ए चला, आपण अशा आकृती तयार करू ज्यामध्ये दोनच विषम बिंदू असतील व इतर समबिंदू असतील. मग ती कोडी सानवीच्या नियमानुसार सोडवता येतील.’
“आणि अशी न सुटणारी अजून कोडी तयार करता येतात का तेही शोधू’,इती सानवी.
मग काय प्रत्येकाच्या मनातील आकृती कागदावर चितारली जाऊ लागली आणि ऑयलरच्या नियमानुसार आहे की नाही याचा शोध घेऊ लागली. बालमित्रांनो, तुम्हीपण अशा आकृत्या शोधणार ना?
– विशाखा गंधे